Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краткий курс

Оглавление

Предисловие

I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1.1. Интегральные кривые. Поле направлений. Ломаные Эйлера
1.2. Теорема Пеано существования решения
1.3. Условие Липшица. Теорема единственности
1.4. Метод последовательных приближений. Теорема Пикара
1.5. Уравнения в симметричной форме и в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
1.6. Замена переменных
1.7. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
1.8. Уравнения Бернулли и Риккати
1.9. Локальное условие Липшица
1.10. Продолжение решения. Максимальный интервал. Полное решение
1.11. Зависимость решения от начальных условий
1.12. Общее решение
1.13. Первообразная дифференциального уравнения
1.14. Аналитические решения. Уравнение Бесселя
1.15. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Параметрические решения. Уравнения Лагранжа и Клеро

II. Нормальные системы дифференциальных уравнений
2.1. Теоремы существования и единственности
2.2. Максимальный интервал. Полное и общее решения
2.3. Уравнения высших порядков, разрешённые относительно старшей производной. Сведение к нормальной системе дифференциальных уравнений
2.4. Условие Липшица. Теорема существования и единственности решения

III. Линейные системы дифференциальных уравнений
3.1. Полные решения
3.2. Линейные однородные системы. Теорема о виде максимального интервала
3.3. Пространство решений однородной системы. Фундаментальные матрицы
3.4. Метод вариации постоянных

IV. Линейные дифференциальные уравнения
4.1. Сведение к линейной системе дифференциальных уравнений
4.2. Определители Вронского. Формула Лиувилля–Остроградского
4.3. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
4.4. Линейные уравнения второго порядка
4.5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
4.6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

V. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
5.1. Норма и экспонента матрицы
5.2. Фундаментальные системы решений

VI. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
6.1. Первые интегралы
6.2. Понижение порядка автономной системы
6.3. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
VII. Дифференцильные уравнения в частных производных второго порядка

7.1. Эллиптический, гиперболический, параболический типы уравнений
7.2. Уравнение колебаний неограниченной струны. Решение Д’Аламбера и задача Коши
7.3. Метод Фурье решения задачи Коши для уравнения колебаний ограниченной струны и уравнения теплопроводности
7.4. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных условий

Литература

Предметный указатель

Приложение